设曲线y＝k(1－x2)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________

admin2022-06-09 77

问题设曲线y＝k(1－x²)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________

选项

答案[*]

解析由y＝k(1－x²)，有y’＝－2kx，过点A(1，0)的法线斜率为－1/y’｜_x＝1＝1/2k，
法线方程为y＝1/2k(x－1)
如图所示，所围图形关于Y轴对称，故面积为
A(k)＝2∫₀¹[k(1－x)－1/2k (x－1)]dx
＝4/3 k＋1/2k
令A’(k)＝4/3－1/2k²＝0，解得k＝