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  3. 设曲线y＝k(1－x2)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________

设曲线y＝k(1－x2)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________

admin2022-06-09  52
问题 设曲线y＝k(1－x2)(k＞0)在点A(1，0)和点B(－1，0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小，则k＝________
选项
答案[*]
解析 由y＝k(1－x2)，有y’＝－2kx，过点A(1，0)的法线斜率为－1/y’｜x＝1＝1/2k，
法线方程为y＝1/2k(x－1)
如图所示，所围图形关于Y轴对称，故面积为
A(k)＝2∫01[k(1－x)－1/2k (x－1)]dx
＝4/3 k＋1/2k
令A’(k)＝4/3－1/2k2＝0，解得k＝，由A’’(k)＝1/h3＞0，知当k＝时，A(k)最小，k＝
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考研数学二

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