设n阶矩阵A，B，A+B，A一1+B一1均为可逆矩阵，则(A一1+B一1)一1=( )

admin2020-03-01 31

问题设n阶矩阵A，B，A+B，A^一1+B^一1均为可逆矩阵，则(A^一1+B^一1)^一1=( )

选项 A、A+B．
B、A(A+B)^一1B．
C、A^一1+B^一1．
D、(A+B)^一1．

答案B

解析本题考查逆矩阵的概念及性质．注意到AB=E，则A可逆，B就是A的逆；也可用(A^一1)^一1=A．
【解法l】由于 (A^一1+B^一1)A(A+B)^一1B=(A^一1+B^一1)[B^一1(A+B)A^一1]^一1=(A^一1+B^一1)(B^一1+A^一1)^一1=(A^一1+B^一1)(A^一1+B^一1)^一1=E，故选B．
【解法2】由于[A(A+B)^一1B]^一1=B^一1(A+B)A^一1=B^一1+A^一1=A^一1+B^一1．故选B．

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