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已知α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关．
已知α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关．
admin
2020-03-10
17
问题
已知α
1
，α
2
，α
3
线性无关，证明2α
1
+3α
2
，α
2
-α
3
，α
1
+α
2
+α
3
线性无关．
选项
答案
(1)(定义法，拆项重组) 若x
1
(2α
1
+3α
2
)+x
2
(α
2
-α
3
)+x
3
(α
1
+α
2
+α
3
)=0，整理得 (2x
1
+x
3
)α
1
+(3x
1
+x
2
+x
3
)α
2
+(-x
2
+x
3
)α
3
=0. 由已知条件α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故组合系数必全为0，即 [*] 故齐次方程组只有零解，即 x
1
=x
2
=x
3
=0．因此2α
1
+3α
2
，α
2
-α
3
，α
1
+α
2
+α
3
线性无关. (2)(用秩，等价向量组) 令β
1
=2α
1
+3α
2
，β
2
=α
2
-α
3
，β
3
=α
1
+α
2
+α
3
，则有 α
1
=2β
1
-3β
2
-3β
3
，α
2
=-β
1
+2β
2
+2β
3
，α
3
=-β
1
+β
2
+2β
3
， 那么，向量组α
1
，α
2
，α
3
与β
1
，β
2
，β
3
可互相线性表出，它们是等价向量组，因而有相同的秩，由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则r(β
1
，β
2
，β
3
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)=3． 所以，β
1
，β
2
，β
3
线性无关，即2α
1
+3α
2
，α
2
-α
3
，α
1
+α
2
+α
3
线性无关． (3)(用秩) 因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，知其秩为3，又 (2α
1
+3α
2
，α
2
-α
3
，α
1
+α
2
+α
23
)=(α
1
，α
2
，α
3
)[*] 而矩阵[*]可逆，故r(2α
1
+3α
2
，α
2
-α
3
，α
1
，α
2
，α
3
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)=3．
解析
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考研数学三
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