已知α1,α2,α3线性无关,证明2α1+3α2,α2-α3,α1+α2+α3线性无关.

admin2020-03-10  21

问题 已知α1,α2,α3线性无关,证明2α1+3α2,α23,α123线性无关.

选项

答案(1)(定义法,拆项重组) 若x1(2α1+3α2)+x223)+x3123)=0,整理得 (2x1+x31+(3x1+x2+x32+(-x2+x33=0. 由已知条件α1,α2,α3线性无关,故组合系数必全为0,即 [*] 故齐次方程组只有零解,即 x1=x2=x3=0.因此2α1+3α2,α23,α123线性无关. (2)(用秩,等价向量组) 令β1=2α1+3α2,β223,β3123,则有 α1=2β1-3β2-3β3,α2=-β1+2β2+2β3,α3=-β12+2β3, 那么,向量组α1,α2,α3与β1,β2,β3可互相线性表出,它们是等价向量组,因而有相同的秩,由于α1,α2,α3线性无关,则r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)=3. 所以,β1,β2,β3线性无关,即2α1+3α2,α23,α123线性无关. (3)(用秩) 因为α1,α2,α3线性无关,知其秩为3,又 (2α1+3α2,α23,α1223)=(α1,α2,α3)[*] 而矩阵[*]可逆,故r(2α1+3α2,α23,α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3)=3.

解析
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