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  3. 已知α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关．

已知α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关．

admin2020-03-10  49
问题 已知α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关．
选项
答案(1)(定义法，拆项重组) 若x1(2α1+3α2)+x2(α2-α3)+x3(α1+α2+α3)=0，整理得 (2x1+x3)α1+(3x1+x2+x3)α2+(-x2+x3)α3=0. 由已知条件α1，α2，α3线性无关，故组合系数必全为0，即 [*] 故齐次方程组只有零解，即 x1=x2=x3=0．因此2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关. (2)(用秩，等价向量组) 令β1=2α1+3α2，β2=α2-α3，β3=α1+α2+α3，则有 α1=2β1-3β2-3β3，α2=-β1+2β2+2β3，α3=-β1+β2+2β3， 那么，向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3可互相线性表出，它们是等价向量组，因而有相同的秩，由于α1，α2，α3线性无关，则r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3． 所以，β1，β2，β3线性无关，即2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α3线性无关． (3)(用秩) 因为α1，α2，α3线性无关，知其秩为3，又 (2α1+3α2，α2-α3，α1+α2+α23)=(α1，α2，α3)[*] 而矩阵[*]可逆，故r(2α1+3α2，α2-α3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．
解析
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考研数学三

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