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设a为区间(0,1)上一个定点,随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.以Y表示点X到a的距离,当X与Y不相关时,a= ( )
设a为区间(0,1)上一个定点,随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.以Y表示点X到a的距离,当X与Y不相关时,a= ( )
admin
2019-05-15
17
问题
设a为区间(0,1)上一个定点,随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.以Y表示点X到a的距离,当X与Y不相关时,a= ( )
选项
A、0.1
B、0.3
C、0.5
D、0.7
答案
C
解析
由题设条件知X~U(0,1),Y=|X-a|,
又因为
EY=∫
0
1
|x-a|dx=∫
0
a
(a-x)dx+∫
a
1
(x-a)dx=a
3
-a+
,
E(XY)=∫
0
a
x(a-x)dx+∫
a
1
x(x-a)dx=
所以由Cov(X,Y)=0可得方程
4a
3
-6a
2
+1=0,
此方程等价于 (2a-1)(2a
2
-2a-1)=0,
从中解得在(0,1)内的实根为a=0.5,即a=0.5时,X与Y不相关.
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考研数学一
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