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  3. 如果数列｛xn｝收敛，｛yn｝发散，那么｛xnyn｝是否一定发散?如果｛xn｝和｛yn｝都发散，那么｛xnyn｝的敛散性又将如何?

如果数列｛xn｝收敛，｛yn｝发散，那么｛xnyn｝是否一定发散?如果｛xn｝和｛yn｝都发散，那么｛xnyn｝的敛散性又将如何?

admin2016-09-13  24
问题 如果数列｛xn｝收敛，｛yn｝发散，那么｛xnyn｝是否一定发散?如果｛xn｝和｛yn｝都发散，那么｛xnyn｝的敛散性又将如何?
选项
答案在题设两种情况下，｛xnyn｝的敛散性都不能确定．现在先就｛xn｝收敛，｛yn｝发散的情况来分析．利用yn=[*](xn≠0)这个恒等式，就可得到下述结论：若｛xn｝收敛且不收敛于零，｛yn｝发散，则｛xnyn｝必发散．这是因为若｛xnyn｝收敛，且又｛xn｝收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知｛yn｝收敛，这与假设矛盾．若[*]=0，且｛yn｝发散，则｛｛xn｝yn｝可能收敛，也可能发散，如： ①xn=[*]，yn=n，则xnyn=1，于是｛xnyn｝收敛． ②xn=[*]，yn=(－1)nn，则xnyn=(－1)n，于是｛xnyn｝发散． 现在再就｛xn｝和｛yn｝都发散的情况来分析｛xnyn｝的敛散性．有下面的结论：若｛xn｝和｛yn｝都发散，且两者至少有一个是无穷大，则｛xnyn｝必发散．这是因为如果｛xnyn｝收敛，而｛xn｝为无穷大，从等式yn=[*]便得到｛yn｝收敛于零，这与假设矛盾． 若｛xn｝和｛yn｝都不是无穷大且都发散，则｛xnyn｝可能收敛，也可能发散，如 ③xn=yn=(－1)n，有xnyn=1，于是｛xnyn｝收敛． ④xn=(－1)n，yn=1－(－1)n，有xnyn=(－1)n－1，于是｛xnyn｝发散．
解析
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考研数学三

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