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设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. 证明:Fˊ(x)单调增加.
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt. 证明:Fˊ(x)单调增加.
admin
2016-05-17
38
问题
设f(x)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt.
证明:Fˊ(x)单调增加.
选项
答案
F(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt =∫
-a
x
(x-t)f(t)dt+∫
x
a
(t-x)f(t)dt =x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt-x∫
x
a
f(t)dt =x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
x
tf(t)dt-∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt F ˊ(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
-a
x
f(t)dt-∫
x
a
f(t)dt 因为Fˊˊ(x)=2f(x)>0,所以F ˊ(x)为单调增加的函数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YMbD777K
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考研数学二
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