设f(x)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(x)>0，令F(x)=∫－aa｜x－t｜f(t)dt．证明：Fˊ(x)单调增加．

admin2016-05-17 46

问题设f(x)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(x)>0，令F(x)=∫_－a^a｜x－t｜f(t)dt．
证明：Fˊ(x)单调增加．

选项

答案F(x)=∫_－a^a｜x－t｜f(t)dt =∫_－a^x(x－t)f(t)dt+∫_x^a(t－x)f(t)dt =x∫_－a^xf(t)dt－∫_－a^xtf(t)dt+∫_x^atf(t)dt－x∫_x^af(t)dt =x∫_－a^xf(t)dt－∫_－a^xtf(t)dt－∫_a^xtf(t)dt+x∫_a^xf(t)dt F ˊ(x)=∫_－a^xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)+∫_a^xf(t)dt+xf(x) =∫_－a^xf(t)dt－∫_x^af(t)dt 因为Fˊˊ(x)=2f(x)>0，所以F ˊ(x)为单调增加的函数．

解析

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