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若函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0,试证:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0.
若函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0,试证:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0.
admin
2018-10-17
80
问题
若函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0,试证:至少存在一点ξ∈(a,b),使得f
’
(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g
’
(ξ)=0.
选项
答案
f
’
(x)g(x)+2f(x)g
’
(x)=0,解微分方程,分离变量得[*],两边积分得, lnf(x)=一2lng(x)+C
1
,即lnf(x)g
2
(x)=C
1
, 因此f(x)g
2
(x)=C,故设F(x)=f(x)g
2
(x). 由题意可知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且F(a)=f(a)g
2
(a)=0,F(b)=f(b)g
2
(b)=0, 所以,F(x)在[a,b]上满足罗尔定理, 所以,存在一点ξ∈(a,b),使得F
’
(ξ)=0, 即f
’
(ξ)g
2
(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g
’
(ξ)=0,又g(x)≠0,整理得f
’
(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g
’
(ξ)=0.
解析
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高等数学二题库成考专升本分类
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高等数学二
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