2. 专升本
  3. 若函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．

若函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．

admin2018-10-17  35
问题 若函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．
选项
答案f’(x)g(x)+2f(x)g’(x)=0，解微分方程，分离变量得[*]，两边积分得， lnf(x)=一2lng(x)+C1，即lnf(x)g2(x)=C1， 因此f(x)g2(x)=C，故设F(x)=f(x)g2(x)． 由题意可知F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导， 且F(a)=f(a)g2(a)=0，F(b)=f(b)g2(b)=0， 所以，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理， 所以，存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0， 即f’(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0，又g(x)≠0，整理得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0．
解析
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