设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中(a，b)为非零常数，则( )．

admin2019-07-10 52

问题设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f^’(0)=b，其中(a，b)为非零常数，则( )．

选项 A、f(x)在x=1处不可导．
B、f(x)在x=1处可导，且f^’(1)=a
C、f(x)在x=1处可导，且f^’(1)=b
D、f(x)在x=1处可导，且f^’(1)=ab．

答案D

解析通过变量代换t=x+1或按定义南关系式f(x+1)=af(1)将f(x)在x=1的可导性与f(x)在x=0的可导性联系起来．令t=x+1，则f(t)=af(t—1)，由复合函数可导性及求导法则知，f(t)在t=1可导且f^’(t)｜_t=1=af^’(t—1)(t一1)^’｜_t=1=af^’(0)=ab，因此，应选D．
或按定义