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  3. 求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线的方程。

求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线的方程。

admin2022-08-05  1
问题 求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线的方程。
选项
答案(方法一) 所求直线记为l，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平而系方程为3x-4y+z+k=0，又直线l过点(1，0，4)，代入求得k=-7，即直线l在平面3x-4y+z-7=0上。联立方程[*]可求得直线x+1=y-3=z/2与直线l的交点为(21，25，44)，因为直线l还经过点(1，0，4)，所以直线l的一个方向向量l=(4，5，8)，因此所求直线的方程为[*] (方法二) 设过点(1，0，4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1，所求直线π1在内，根据平行平面的关系易得，π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。 直线x+1=y-3=z/2过点(-1，3，0)，且一个方向向量为s=(1，1，2)，又平面π1的一个法向量为n=(3，-4，1)，因为sn≠0，所以直线x+1=y-3=z/2与π1相交，所以直线l与直线x+1=y-3=z/2所确定的平而π2与π1相交，相交直线即为l。 平面π2过点(-1，3，0)和点(1，0，4)，且与向量s=(1，1，2)平行，设π2上任意一点的坐标为(x，y，z)，则向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有(s，u，v)=[*]=2x-z+2=0，所以π2的一般方程为2x-z+2=0。 因此，所求直线l的一般方程为[*]
解析
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