2. 公务员
  3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=_________．

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=_________．

admin2019-08-06  7
问题 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=_________．
选项
答案-8
解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)=－f(x)，所以f＇(4－x)=f(x)，因此，函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0，由f(x－4)=－f(x)知f(x－8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)=m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1+x2=－12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=－12+4=－8．
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