2. 考研
  3. 设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

admin2017-07-10  59
问题 设矩阵A=相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
选项
答案(1)A的特征值为6，6，一2，故由A可相似对角化知矩阵6E一A=[*]的秩为1，[*]a=0． (2)f= xTAx=(xTAx)T=xTATx=[*](xTAx + xTATx)=[*]，故f的矩阵为[*](A+AT)=[*]= B，计算可得B的特征值为λ1=6，λ2=一3，λ3=7，对应的特征向量分别可取为ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，一 1，0)T，ξ1=(1，1，0)T，故有正交矩阵 [*] 使得P一1BP=PTBP=diag(6，一3，7)，所以，在正交变换[*]下，可化f成标准形f=6y12一3y22+7y32．
解析
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考研数学二

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