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设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
admin
2017-07-10
99
问题
设矩阵A=
相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换，将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax化为标准形，其中x=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
．
选项
答案
(1)A的特征值为6，6，一2，故由A可相似对角化知矩阵6E一A=[*]的秩为1，[*]a=0． (2)f= x
T
Ax=(x
T
Ax)
T
=x
T
A
T
x=[*](x
T
Ax + x
T
A
T
x)=[*]，故f的矩阵为[*](A+A
T
)=[*]= B，计算可得B的特征值为λ
1
=6，λ
2
=一3，λ
3
=7，对应的特征向量分别可取为ξ
1
=(0，0，1)
T
，ξ
2
=(1，一 1，0)
T
，ξ
1
=(1，1，0)
T
，故有正交矩阵 [*] 使得P
一1
BP=P
T
BP=diag(6，一3，7)，所以，在正交变换[*]下，可化f成标准形f=6y
1
2
一3y
2
2
+7y
3
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Yet4777K
0
考研数学二
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