2. 考研
  3. 设方程y3+sin(xy)一e2x=0确定曲线y=y(x)．(Ⅰ)求此曲线Y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径．Ⅱ求此曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程．

设方程y3+sin(xy)一e2x=0确定曲线y=y(x)．(Ⅰ)求此曲线Y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径．Ⅱ求此曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程．

admin2015-04-30  49
问题 设方程y3+sin(xy)一e2x=0确定曲线y=y(x)．(Ⅰ)求此曲线Y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径．Ⅱ求此曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程．
选项
答案(Ⅰ)首先用隐函数求导法计算y=y(x)在x=0处的一、二阶导数y’(0)与y"(0)．为此将隐函数方程两端对x求导数得 3y2+(y+xy’)cos(xy)一2e2x=0． (*) 将x=0与y(0)=1代入(*)即得 3y’(0)+1—2=0 →y’(0)=[*]． 将(*)式两端对x求导数又得 6y(y’)2+3y2y"+(2y’+xy”)cos(xy)一(y+xy’)2sin(xy)一4e2x=0， (**) 将x=0，y(0)=1与)y’(0)=[*]代入(**)即得 [*] Ⅱ设曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆中心是(ξ，η)． 先求(ξ，η)． 曲线y=y(x)在点(0，1)处的法线方程是y=1— 3x(y’(0)=[*])，曲率中心(ξ，η)位于法线上，所以有 η=1—3ξ 又(ξ，η)与(0，1)的距离即曲率半径ρ，即 [*] 因为y=y(x)在(0，1)附近是凹的(y"(0)＞0，y"(x)连续)，(ξ，η)在法线上凹的一侧，如 右图，η＞1即ξ<0，[*]。于是曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程是 [*]
解析
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考研数学二

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