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设方程y3+sin(xy)一e2x=0确定曲线y=y(x).(Ⅰ)求此曲线Y=y(x)在点(0,1)处的曲率与曲率半径.Ⅱ求此曲线y=y(x)在点(0,1)处的曲率圆方程.
设方程y3+sin(xy)一e2x=0确定曲线y=y(x).(Ⅰ)求此曲线Y=y(x)在点(0,1)处的曲率与曲率半径.Ⅱ求此曲线y=y(x)在点(0,1)处的曲率圆方程.
admin
2015-04-30
47
问题
设方程y
3
+sin(xy)一e
2x
=0确定曲线y=y(x).(Ⅰ)求此曲线Y=y(x)在点(0,1)处的曲率与曲率半径.Ⅱ求此曲线y=y(x)在点(0,1)处的曲率圆方程.
选项
答案
(Ⅰ)首先用隐函数求导法计算y=y(x)在x=0处的一、二阶导数y’(0)与y"(0).为此将隐函数方程两端对x求导数得 3y
2
+(y+xy’)cos(xy)一2e
2x
=0. (*) 将x=0与y(0)=1代入(*)即得 3y’(0)+1—2=0 →y’(0)=[*]. 将(*)式两端对x求导数又得 6y(y’)
2
+3y
2
y"+(2y’+xy”)cos(xy)一(y+xy’)
2
sin(xy)一4e
2x
=0, (**) 将x=0,y(0)=1与)y’(0)=[*]代入(**)即得 [*] Ⅱ设曲线y=y(x)在点(0,1)处的曲率圆中心是(ξ,η). 先求(ξ,η). 曲线y=y(x)在点(0,1)处的法线方程是y=1— 3x(y’(0)=[*]),曲率中心(ξ,η)位于法线上,所以有 η=1—3ξ 又(ξ,η)与(0,1)的距离即曲率半径ρ,即 [*] 因为y=y(x)在(0,1)附近是凹的(y"(0)>0,y"(x)连续),(ξ,η)在法线上凹的一侧,如 右图,η>1即ξ<0,[*]。于是曲线y=y(x)在点(0,1)处的曲率圆方程是 [*]
解析
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考研数学二
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