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  3. 设f(x)>0，f’’(x)在(一∞，+∞)内连续，令 (1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性． (2)证明φ(x)单调递增．

设f(x)>0，f’’(x)在(一∞，+∞)内连续，令 (1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性． (2)证明φ(x)单调递增．

admin2020-03-05  13
问题 设f(x)>0，f’’(x)在(一∞，+∞)内连续，令

    (1)求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性．
    (2)证明φ(x)单调递增．
选项
答案(1)当x≠0时， [*] 当x=0时， [*] 于是，当x≠0时，f(x) ＞0，[∫0xf(t)dt] 2＞0，φ’(x)连续．又 [*] 所以φ’(x)在x=0连续． （2）要证φ(x)单调递增，只要证明φ’(x)≥0．因为 [*] 又f(x) ＞0，[∫0xf(t)dt] 2≥0，只需证明g(x)= ∫0x(x－t)f(t)dt]≥0． 当x=0时，g(0)=0；当x>0时，g’(x)= ∫0xf(t)dt＞0；当x<0时，g’(x)= －∫0xf(t)dt x<0．因此，当x<0时，g(x)严格递减，当x>0时，g(x)严格递增，而g(0)=0为最小值，故g(x)≥0，并且仅当x=0时，g(0)=0．
解析
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考研数学一

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