已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

admin2017-05-31 78

问题已知y₁^*=xe^x+e^2x，y₂^*=xe^x+e^－x)，y₃^*=xe^x+e^2x－e^－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*=e^－x，y₂^*－y₃^*=2e^－x－e^2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁=e^－x， y ₂=2( y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)=e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*=y₁^*－y₂=xe^x．因此该非齐次方程的通解是y=C₁e^－x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y"+py’+qy=f(x)．它的相应特征根是λ₁=－1，λ₂=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ－2)=0，即 λ²－λ－2=0．因此方程为y"－y’－2y=f(x)．再将特解y₄^*=xe^x代入得 (x+2)e^x－(x+1)e^x－2xe^x=f(x)，即 f(x)=(1－2x)e^x 因此方程为y"－y’－2y=(1－2x)e^x．

解析

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考研数学二

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

考研数学二

[*]

(2z-ex+y+z)/(ex+y+z-2y)

给定函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c为常数，求：fˊ(x)，f(0)，fˊ(1／2)，fˊ(－b／2a).

设生产x单位某产品的总成本C是x的函数C(x)，固定成本(即C(0))为20元，边际成本函数为Cˊ(x)＝2x＋10(元／单位)，求总成本函数C(x)．

设有函数试分析在点x＝0处，k为何值时，f(x)有极限；k为何值时，f(x)连续；k为何值时，f(x)可导．

当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?

(1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的()．

某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系．

设α1,α2……αm(m≥2)为正数，则=_________。

TherearemanyshopsinSingaporewherecustomersstillbargain,althoughpricesareclearlyshownonthegoods.Thereisnothin

我国房地产的法律法规体系的构架由法律、()、地方性法规、部门规章、政府规章、规范性文件和技术规范等构成。

下列关于发展观的说法不正确的是：()。

对于各种贵重物资，企业应每月进行盘点。()

关于持有待售类别的列报，下列表述中正确的有()。

中国近代有学者称：“夫外货舶来品之侵入，关税自主后犹可挽救，独此病入膏肓之洋商工厂，犹如附骨之蛆，不克(不能做到)消除。”下列对此理解最为准确的是()。

在《幼儿园工作规程》所提出的教育目标中，“培养儿童活泼开朗的性格”属于()目标的范畴。

简述公民的基本义务。

Theabovepassageismostprobablytakenfrom______.Ifyouwanttotakephotosofflowers,whichhotelshouldbethebestcho

已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

考研数学二

[*]

(2z-ex+y+z)/(ex+y+z-2y)

给定函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c为常数，求：fˊ(x)，f(0)，fˊ(1／2)，fˊ(－b／2a).

设生产x单位某产品的总成本C是x的函数C(x)，固定成本(即C(0))为20元，边际成本函数为Cˊ(x)＝2x＋10(元／单位)，求总成本函数C(x)．

设有函数试分析在点x＝0处，k为何值时，f(x)有极限；k为何值时，f(x)连续；k为何值时，f(x)可导．

当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?

(1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的()．

某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系．

设α1,α2……αm(m≥2)为正数，则=_________。

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我国房地产的法律法规体系的构架由法律、()、地方性法规、部门规章、政府规章、规范性文件和技术规范等构成。

下列关于发展观的说法不正确的是：()。

对于各种贵重物资，企业应每月进行盘点。()

关于持有待售类别的列报，下列表述中正确的有()。

中国近代有学者称：“夫外货舶来品之侵入，关税自主后犹可挽救，独此病入膏肓之洋商工厂，犹如附骨之蛆，不克(不能做到)消除。”下列对此理解最为准确的是()。

在《幼儿园工作规程》所提出的教育目标中，“培养儿童活泼开朗的性格”属于()目标的范畴。

简述公民的基本义务。

Theabovepassageismostprobablytakenfrom______.Ifyouwanttotakephotosofflowers,whichhotelshouldbethebestcho

已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．