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设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2。α1=(1,一1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2。α1=(1,一1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
admin
2018-04-08
125
问题
设三阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2。α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于特征值λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
得 A
2
α
1
=Aα
1
=α
1
, 进一步 A
3
α
1
=α
1
,A
5
α
1
=α
1
, 故 Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
—4A。α
1
+α
1
=α
1
-4α
1
+α
1
=-2α
1
, 从而α
1
是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。 由B=A
5
-4A
3
+E及A的三个特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,得B的三个特征值为μ
1
=-2,μ
2
=1,μ
3
=1。 设α
2
,α
3
为B的属于μ
2
=μ
3
=1的两个线性无关的特征向量,又A为对称矩阵,得B也是对称矩阵,因此α
1
与α
2
,α
3
正交,即α
1
T
α
2
=0,α
1
T
α
3
=0。所以α
2
,α
3
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解(1,-1,1)[*]=0,其基础解系为 [*] 即B的全部特征值的特征向量为: [*] 其中k
1
是不为零的任意常数,k
2
,k
3
是不同时为零的任意常数。 (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
)= [*] 得 [*]
解析
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考研数学一
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