2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

admin2018-04-08  22
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案(Ⅰ)由Aα1=α1得 A2α1=Aα1=α1， 进一步 A3α1=α1，A5α1=α1， 故 Bα1=(A5－4A3+E)α1=A5α1—4A。α1+α1=α1－4α1+α1=－2α1， 从而α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。 由B=A5－4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，得B的三个特征值为μ1=－2，μ2=1，μ3=1。 设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又A为对称矩阵，得B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。所以α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解(1，－1，1)[*]=0，其基础解系为 [*] 即B的全部特征值的特征向量为： [*] 其中k1是不为零的任意常数，k2，k3是不同时为零的任意常数。 (Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)= [*] 得 [*]
解析
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考研数学一

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