设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn一1=αn，Aαn=0．证明：求A的特征值与特征向量．

admin2016-10-24 63

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，且α_n≠0，若Aα₁=α₂，Aα₂=α₃，…，Aα_n一1=α_n，Aα_n=0．证明：
求A的特征值与特征向量．

选项

答案A(α₁，α₂，…，α_n)=(α₁，α₂，…，α_n) [*]，令P=(α₁，α₂，…，α_n)，则P^一1AP=[*]=B，则A与B相似，由|λE一B|=0[*]λ₁=…=λ_n=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aα_n=0α_n(α_n≠0)，所以A的全部特征向量为kα_n(k≠0)．

解析

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考研数学三

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