2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn一1=αn，Aαn=0．证明： 求A的特征值与特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn一1=αn，Aαn=0．证明： 求A的特征值与特征向量．

admin2016-10-24  61
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn一1=αn，Aαn=0．证明：
求A的特征值与特征向量．
选项
答案A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn) [*]， 令P=(α1，α2，…，αn)，则P一1AP=[*]=B，则A与B相似，由|λE一B|=0[*]λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．
解析
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考研数学三

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