2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)， 确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈(0，t)，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2．

已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)， 确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈(0，t)，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2．

admin2019-08-05  5
问题 已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx，(k∈R)，
确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈(0，t)，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2．
选项
答案当k＞1时，对于[*]x∈(0，+∞)，g(x)＞x＞f(x)，故g(x)＞f(x)，｜f(x)一g(x)｜=g(x)一f(x)=kx—ln(1+x)，令M(x)=kx—ln(1+x)一x2，x∈[0，+∞)，则有M’(x)=k一[*]时， M’(x)＞0，M(x)在[0，[*]]上单调递增，故M(x)＞M(0)=0，即｜f(x)一g(x)｜＞x2，所以满足题意的t不存在． 当k＜1时，由已知存在x0＞0，使得对任意的x∈(0，x0)，f(x)＞g(x)． 此时｜一f(x)一g(x)｜=f(x)－g(x)=ln(1+x)－kx，令N(x)=ln(1+x)－kx－x2，x∈[0，+∞)，则有 N’(x)=[*]时， N’(x)＞0，N(x)在[0，[*])上单调递增，故N(x)＞N(0)=0，即f(x)一g(x)＞x2，记x0与[*]中较小的为x1，则当x∈(0，x1)时，恒有｜f(x)一g(x)｜＞x2，故满足题意的t不存在． 当k=1，由已知，当x∈(0，+∞)，｜f(x)－g(x)｜=g(x)－f(x)=x—ln(1+x)，令H(x)=x—ln(1+x)－x2，x∈[0，+∞)，则有H’(x)=1一[*]，当x＞0时，H’(x)＜0，所以H(x)在[0，+∞)上单调递减，故H(x)＜H(0)=0，故当x＞0时，恒有｜f(x)－g(x)｜＜x2，此时，任意实数t满足题意．综上，k=1．
解析
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