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  3. 设矩阵B=P一1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设矩阵B=P一1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

admin2019-04-22  51
问题 设矩阵B=P一1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
选项
答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。又因A*A=｜A｜E，故有 [*] 于是有 [*] 因此，[*]为B+2E的特征值，对应的特征向量为P一1η。 [*] 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 [*] 当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为[*]由 [*] 因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。对应于特征值9的全部特征向量为k1P-1η1+k2P-1η2=[*]其中k1，k2是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为k3P-1η3=[*]其中k3是不为零的任意常数。
解析
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考研数学二

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