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设矩阵B=P一1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。
设矩阵B=P一1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。
admin
2019-04-22
45
问题
设矩阵
B=P
一1
A
*
P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A
*
为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。
选项
答案
设A的特征值为λ,对应特征向量为η,则有Aη=λη。由于|A|=7≠0,所以λ≠0。又因A
*
A=|A|E,故有 [*] 于是有 [*] 因此,[*]为B+2E的特征值,对应的特征向量为P
一1
η。 [*] 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=7。当λ
1
=λ
2
=1时,对应的线性无关的两个特征向量可取为 [*] 当λ
3
=7时,对应的一个特征向量可取为[*]由 [*] 因此,B+2E的三个特征值分别为9,9,3。对应于特征值9的全部特征向量为k
1
P
-1
η
1
+k
2
P
-1
η
2
=[*]其中k
1
,k
2
是不全为零的任意常数;对应于特征值3的全部特征向量为k
3
P
-1
η
3
=[*]其中k
3
是不为零的任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YtV4777K
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考研数学二
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