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设f(x)在区间[2,4]上具有二阶连续导f"(x),且f(3)=0,证明:存在一点ξ∈(2,4),使得 f"(ξ)=3∫24f(x)dx。
设f(x)在区间[2,4]上具有二阶连续导f"(x),且f(3)=0,证明:存在一点ξ∈(2,4),使得 f"(ξ)=3∫24f(x)dx。
admin
2019-07-19
37
问题
设f(x)在区间[2,4]上具有二阶连续导f"(x),且f(3)=0,证明:存在一点ξ∈(2,4),使得
f"(ξ)=3∫
2
4
f(x)dx。
选项
答案
令F(x)=∫
2
x
f(t)dt,可知F(x)三阶连续可导,由二阶泰勒公式得 [*] 因为f"(x)在[ξ
1
,ξ
2
][*](2,4)上连续,所以f"(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上有界,故存在实数m和M(m≤M),使得m≤[*]≤M成立,所以由介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](2,4),使得f"(ξ)=[*],于是有f"(ξ)=3∫
2
4
f(x)dx。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Yyc4777K
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考研数学一
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