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  3. 设D是有界闭区域，下列命题中错误的是

设D是有界闭区域，下列命题中错误的是

admin2018-11-22  83
问题 设D是有界闭区域，下列命题中错误的是
选项 A、若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．
B、若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0  ((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．
C、若f(x，y)在D连续，f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0  ((x，y)∈D)．
D、若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0  ((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．
答案B
解析 直接指出其中某命题不正确．
因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确．
设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在区域D上f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此选B．
    或直接证明其中三个是正确的．
    命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零→(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性→有界闭区域D0D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0 → f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0  ((x，y)∈D)．
    命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥(x，y)=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某点．于是由二重积分的不等式性质得
    f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．
    命题(C)是正确的．若f(x，y)≠0 → 在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假设f2(x，y)在D连续→f2(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选B．
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