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设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32,求a,b的值及所用正交变换。
设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32,求a,b的值及所用正交变换。
admin
2017-01-21
21
问题
设二次型f=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
—4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
经正交变换化为3y
1
2
+3y
2
2
+ by
3
2
,求a,b的值及所用正交变换。
选项
答案
二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形,故A与B不仅合同而且相似。由1+1 +1=3+3+b得b=—3。 对λ=3,则有 |3E—A|=[*]=—2(a +2)
2
=0,因此a=—2(二重根)。 由(3E—A)x=0,得特征向量α
1
=(1,—1,0)
T
,α
2
=(1,0,—1)
T
。 由(—3E—A)x=0,得特征向量α
3
=(1,1,1)
T
。 因为λ=3是二重特征值,对α
1
,α
2
正交化有 β
1
=α
1
=(1,—1,0)
T
, β
2
=α
2
—[*](1,1,—2)
T
单位化有 [*] 经正交交换x=Cy,二次型化为3y
1
2
+3y
2
2
—3y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z2H4777K
0
考研数学三
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