2. 考研
  3. 设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。

设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。

admin2017-01-21  36
问题 设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。
选项
答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1 +1=3+3+b得b=—3。 对λ=3，则有 |3E—A|=[*]=—2（a +2）2=0，因此a=—2（二重根）。 由（3E—A）x=0，得特征向量α1=（1，—1，0）T，α2=（1，0，—1）T 。 由（—3E—A）x=0，得特征向量α3=（1，1，1）T。 因为λ=3是二重特征值，对α1，α2正交化有 β1=α1=（1，—1，0）T， β2=α2—[*]（1，1，—2）T 单位化有 [*] 经正交交换x=Cy，二次型化为3y12+3y22—3y32。
解析
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考研数学三

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