设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32,求a,b的值及所用正交变换。

admin2017-01-21  21

问题 设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32,求a,b的值及所用正交变换。

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形,故A与B不仅合同而且相似。由1+1 +1=3+3+b得b=—3。 对λ=3,则有 |3E—A|=[*]=—2(a +2)2=0,因此a=—2(二重根)。 由(3E—A)x=0,得特征向量α1=(1,—1,0)T,α2=(1,0,—1)T 。 由(—3E—A)x=0,得特征向量α3=(1,1,1)T。 因为λ=3是二重特征值,对α1,α2正交化有 β11=(1,—1,0)T, β22—[*](1,1,—2)T 单位化有 [*] 经正交交换x=Cy,二次型化为3y12+3y22—3y32

解析
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