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设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。
设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。
admin
2017-01-21
35
问题
设二次型f=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
—4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
经正交变换化为3y
1
2
+3y
2
2
+ by
3
2
，求a，b的值及所用正交变换。
选项
答案
二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1 +1=3+3+b得b=—3。 对λ=3，则有 |3E—A|=[*]=—2（a +2）
2
=0，因此a=—2（二重根）。 由（3E—A）x=0，得特征向量α
1
=（1，—1，0）
T
，α
2
=（1，0，—1）
T
。 由（—3E—A）x=0，得特征向量α
3
=（1，1，1）
T
。 因为λ=3是二重特征值，对α
1
，α
2
正交化有 β
1
=α
1
=（1，—1，0）
T
， β
2
=α
2
—[*]（1，1，—2）
T
单位化有 [*] 经正交交换x=Cy，二次型化为3y
1
2
+3y
2
2
—3y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z2H4777K
0
考研数学三
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