设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。

admin2017-01-21 54

问题设二次型f=x₁²+x₂²+x₃²—4x₁x₂—4x₁x₃+2ax₂x₃经正交变换化为3y₁²+3y₂²+ by₃²，求a，b的值及所用正交变换。

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是 [*] 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似。由1+1 +1=3+3+b得b=—3。对λ=3，则有 |3E—A|=[*]=—2（a +2）²=0，因此a=—2（二重根）。由（3E—A）x=0，得特征向量α₁=（1，—1，0）^T，α₂=（1，0，—1）^T 。由（—3E—A）x=0，得特征向量α₃=（1，1，1）^T。因为λ=3是二重特征值，对α₁，α₂正交化有 β₁=α₁=（1，—1，0）^T， β₂=α₂—[*]（1，1，—2）^T 单位化有 [*] 经正交交换x=Cy，二次型化为3y₁²+3y₂²—3y₃²。

解析

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考研数学三

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设二次型f=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+ by32，求a，b的值及所用正交变换。

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