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已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (I)求f(x); (Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (I)求f(x); (Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
admin
2021-01-19
65
问题
已知连续函数f(x)满足∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x一t)dt=ax
2
.
(I)求f(x);
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
选项
答案
(I)令u=x一t,则t=x—u,dt=一du.因此 ∫
0
x
tf(x-t)dt=∫
0
x
(x-u)f(u)du=x∫
0
x
f(u)du—∫
0
x
uf(u)du 从而∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x一t)dt=ax
2
可转化为 ∫
0
x
f(t)dt+x∫
0
x
f(u)du—∫
0
x
uf(u)du=ax
2
将上式两边关于x求导,得 f(x)+∫
0
x
f(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax 即 f(x)+∫
0
x
f(u)du=2ax 将上式两边关于x求导,得 f’(x)+f(x)=2a. 由通解公式,可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e
-∫1dx
(∫2ae
∫1dx
+C)=e
-x
(C+2a∫e
x
dx) =e
-x
(2ae
x
+C). 又f(0)=0,则可得C=一2a.因此 f(x)=2a(1一e
-x
). (Ⅱ)由于[*].则有 ∫
0
1
2a(1-e
-x
)dx=(2ax+2ae
-x
)|
0
1
=2ae
-1
=1. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z584777K
0
考研数学二
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