首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (I)求f(x); (Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2. (I)求f(x); (Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
admin
2021-01-19
71
问题
已知连续函数f(x)满足∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x一t)dt=ax
2
.
(I)求f(x);
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
选项
答案
(I)令u=x一t,则t=x—u,dt=一du.因此 ∫
0
x
tf(x-t)dt=∫
0
x
(x-u)f(u)du=x∫
0
x
f(u)du—∫
0
x
uf(u)du 从而∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x一t)dt=ax
2
可转化为 ∫
0
x
f(t)dt+x∫
0
x
f(u)du—∫
0
x
uf(u)du=ax
2
将上式两边关于x求导,得 f(x)+∫
0
x
f(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax 即 f(x)+∫
0
x
f(u)du=2ax 将上式两边关于x求导,得 f’(x)+f(x)=2a. 由通解公式,可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e
-∫1dx
(∫2ae
∫1dx
+C)=e
-x
(C+2a∫e
x
dx) =e
-x
(2ae
x
+C). 又f(0)=0,则可得C=一2a.因此 f(x)=2a(1一e
-x
). (Ⅱ)由于[*].则有 ∫
0
1
2a(1-e
-x
)dx=(2ax+2ae
-x
)|
0
1
=2ae
-1
=1. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z584777K
0
考研数学二
相关试题推荐
1-a
A、 B、 C、 D、 C
设y=x3+3ax2+3bx+c在x=-1处取最大值,又(0,3)为曲线的拐点,则().
设直线y=aχ+b为曲线y=ln(χ+2)的切线,且y=aχ+b,χ=0,χ=4及曲线y=In(χ+2)围成的图形面积最小,求a,b的值.
设y=y(χ)是方程2χydχ+(χ2-1)dy=0及条件y(0)=1的解,则y(χ)dχ=()
函数f(x,y)=ax2+bxy2+2y在点(1,-1)取得极值,则ab=___________。
求极限=_______.
已知平面上三条直线的方程为l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0.l3:cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
随机试题
支气管扩张病变可分为:
以下药物停药后会损害食管的有()。
工程各参建单位填写的工程档案应以( )等为依据。
()是指销售产品或者提供服务取得的收入,是项目运营期现金流入的主体。
根据《水利水电工程标准施工招标文件》,由于发包人责任引起的工期延误事件发生后,若发包人要求承包人修订的进度计划仍应保证工程按期完工,则由于采取赶工措施所增加的费用应由()承担。
在工作中,团结合作原则要求银行业从业人员应该树立()。
从科学史看,理论再伟大,也只有在特定的范围内才是正确的。标准模型虽然即将被证实,但其依然位于微观世界,无法解释宏观世界中的万有引力。《新科学家》撰文写道:“希格斯玻色子(也称为‘上帝粒子’)是标准模型的最后一块拼图,但我们知道,这个模型之外,还有其他的粒子
ItisgenerallyrecognizedintheworldthatthesecondGulfWarinIraqisacrucialtestofhigh-speedWeb.Fordecades,Ameri
假设EXAM.DOC文件夹存储在EXAM1文件夹中,EXAM2文件夹存储在EXAM1文件夹中,EXAM1文件夹存储在D盘的根文件夹中,当前文件夹为EXAM2,那么,正确描述EXAM.DOC文件的相对路径为(41)。
Asthemountainswerecoveredwitha______ofcloud,wecouldn’tseetheirtops.
最新回复
(
0
)