已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (I)求f(x)； (Ⅱ)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．

admin2021-01-19 66

问题已知连续函数f(x)满足∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=ax²．
(I)求f(x)；
(Ⅱ)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．

选项

答案(I)令u=x一t，则t=x—u，dt=一du．因此 ∫₀^xtf(x-t)dt=∫₀^x(x-u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du—∫₀^xuf(u)du 从而∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=ax²可转化为 ∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(u)du—∫₀^xuf(u)du=ax² 将上式两边关于x求导，得 f(x)+∫₀^xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax 即 f(x)+∫₀^xf(u)du=2ax 将上式两边关于x求导，得 f’(x)+f(x)=2a．由通解公式，可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e^-∫1dx(∫2ae^∫1dx+C)=e^-x(C+2a∫e^xdx) =e^-x(2ae^x+C)．又f(0)=0，则可得C=一2a．因此 f(x)=2a(1一e^-x)． (Ⅱ)由于[*]．则有 ∫₀¹2a(1-e^-x)dx=(2ax+2ae^-x)|₀¹=2ae^-1=1． [*]

解析

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考研数学二

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已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (I)求f(x)； (Ⅱ)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．

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