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设f(χ)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对χ∈(0,+∞)满足∫01f(χt)dt=2∫01f(t)dt+χf(χ)+χ3,又f(1)=0,求f(χ).
设f(χ)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对χ∈(0,+∞)满足∫01f(χt)dt=2∫01f(t)dt+χf(χ)+χ3,又f(1)=0,求f(χ).
admin
2014-12-09
65
问题
设f(χ)在(0,+∞)内一阶连续可微,且对
χ∈(0,+∞)满足∫
0
1
f(χt)dt=2∫
0
1
f(t)dt+χf(χ)+χ
3
,又f(1)=0,求f(χ).
选项
答案
令u=χt,则原方程变换为∫
0
χ
f(u)du=2∫
0
χ
f(t)dt+χf(χ)+χ
3
,两边对χ求导得f(χ)=2f(χ)+f(χ)+χf′(χ)+3χ
2
,整理得f′(χ)+[*]f(χ)=-3χ.此微分方程的通解为f(χ)=[*].由f(1)=0,得C=[*],所以f(χ)=[*].
解析
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0
考研数学二
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