设连续函数f(x)满足：f(x)=∫0xf(x-t)df=ex，则f(x)=________．

admin2021-10-18 34

问题设连续函数f(x)满足：f(x)=∫₀^xf(x-t)df=e^x，则f(x)=________．

选项

答案(x+1)e^x

解析由∫₀^xf(x-t)dt→∫_x⁰f(u)(-du)=∫₀^xf(u)du得f(x)-∫₀^xf(u)du=e^x，两边求导得f’(x)-f(x)=e^x，解得f(x)=[∫e^x·e^∫(-1)dxdx+C]e^-∫(-1)dx=(x+C)e^x，由f(0)=1得C=1，故f(x)=(x+1)e^x．

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