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  3. 设A为m×n矩阵，若要非齐次线性方程组Ax=b对任意的常向量b总有解，则应满足条件( )．

设A为m×n矩阵，若要非齐次线性方程组Ax=b对任意的常向量b总有解，则应满足条件( )．

admin2019-06-11  23
问题 设A为m×n矩阵，若要非齐次线性方程组Ax=b对任意的常向量b总有解，则应满足条件(    )．
选项 A、r(A)=m
B、r(A)=n
C、r(A)＜m
D、r(A)＜n
答案A
解析 方程组Ax=b有解的充分必要条件是r(Ab)=r(A)．选项A，若r(A)=m，知A为行满秩矩阵，在加任意一个列向量b后，加长矩阵(Ab)即增广矩阵仍为行满秩矩阵，总有r(Ab)=r(A)=m．故选A．
选项B，r(A)=n只说明方程组导出组Ax=0仅有零解，但不能说明Ax=b一定有解．
选项C，r(A)＜m时，通过适当变换可以找到特定的常向量b，使得r(Ab)＞r(A)，致使方程组无解．故Ax=b不一定有解．
选项D，r(A)＜n只说明方程组导出组Ax=0有非零解，但不能说明Ax=b一定有解．
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