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  3. 设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx﹦ ( )

设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx﹦ ( )

admin2019-06-29  46
问题 设y(x)是初值问题的解，则∫0+∞xy’(x)dx﹦          (   )
选项 A、－1－b十2a．
B、－1﹢b－2a．
C、－1－b－2a．
D、－1﹢b﹢2a．
答案C
解析 y”﹢2y’﹢y＝e－x的通解为y＝(C1﹢C2x﹢Ax2)e－x，
其中C1，C2为任意常数，A为某常数，而线性方程的通解为一切解．由此y’＝[(C2－C1)﹢(2A－C2)x－Ax2]e－x，
可见，无论C1，C2，A是什么常数，∫0﹢∞xy’(x)dx都收敛．于是由分部积分法和原给的式子y＝e－x－y”－2y’，可得
∫0﹢∞xy’(x)dx＝∫0﹢∞xdy(x)｜0﹢∞－∫0﹢∞y(x)dx＝0－0－∫0﹢∞[e－x－y”(x)－2y’(x)]dx＝[e－x﹢y’(x)﹢2y(x)]｜0﹢∞＝(0﹢0﹢0)－[1﹢y’(0)﹢2y(0)]＝－1－b－2a．
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考研数学二

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