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设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xy’(x)dx﹦ ( )
设y(x)是初值问题的解,则∫0+∞xy’(x)dx﹦ ( )
admin
2019-06-29
37
问题
设y(x)是初值问题
的解,则∫
0
+∞
xy
’
(x)dx﹦ ( )
选项
A、-1-b十2a.
B、-1﹢b-2a.
C、-1-b-2a.
D、-1﹢b﹢2a.
答案
C
解析
y
”
﹢2y
’
﹢y=e
-x
的通解为y=(C
1
﹢C
2
x﹢Ax
2
)e
-x
,
其中C
1
,C
2
为任意常数,A为某常数,而线性方程的通解为一切解.由此y
’
=[(C
2
-C
1
)﹢(2A-C
2
)x-Ax
2
]e
-x
,
可见,无论C
1
,C
2
,A是什么常数,∫
0
﹢∞
xy
’
(x)dx都收敛.于是由分部积分法和原给的式子y=e
-x
-y
”
-2y
’
,可得
∫
0
﹢∞
xy
’
(x)dx=∫
0
﹢∞
xdy(x)|
0
﹢∞
-∫
0
﹢∞
y(x)dx=0-0-∫
0
﹢∞
[e
-x
-y
”
(x)-2y
’
(x)]dx=[e
-x
﹢y
’
(x)﹢2y(x)]|
0
﹢∞
=(0﹢0﹢0)-[1﹢y
’
(0)﹢2y(0)]=-1-b-2a.
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考研数学二
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