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设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1.证明:存在ξ ∈(0,1).使得(ξ)≥8.
设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1.证明:存在ξ ∈(0,1).使得(ξ)≥8.
admin
2019-07-10
68
问题
设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1.证明:存在ξ ∈(0,1).使得
(ξ)≥8.
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上连续,所以f(x)在[0,1]上取到最小值和最大值.又因为 f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1,所以存在c∈(0,1),使得f(c)=一1. [*](c)=0,由泰勒公式得 [*] 整理得[*] 当c∈(0,[*]]时,因为c
2
≤[*],所以[*](ξ
1
)=[*]≥8,此时取ξ=ξ
1
; 当c∈[[*],1)时,因为(1一c)
2
≤[*],所以[*](ξ
2
)=[*]≥8,此时取ξ=ξ
2
.
解析
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考研数学三
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