设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1.证明:存在ξ ∈(0,1).使得(ξ)≥8.

admin2019-07-10  47

问题 设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1.证明:存在ξ ∈(0,1).使得(ξ)≥8.

选项

答案因为f(x)在[0,1]上连续,所以f(x)在[0,1]上取到最小值和最大值.又因为 f(0)=f(1)=0,且f(x)在[0,1]上的最小值为一1,所以存在c∈(0,1),使得f(c)=一1. [*](c)=0,由泰勒公式得 [*] 整理得[*] 当c∈(0,[*]]时,因为c2≤[*],所以[*](ξ1)=[*]≥8,此时取ξ=ξ1; 当c∈[[*],1)时,因为(1一c)2≤[*],所以[*](ξ2)=[*]≥8,此时取ξ=ξ2

解析
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