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设函数f(x)在(-∞,+∞)内具有二阶连续导数,证明:f”(x)≥0的充分必要条件是对不同实数a,b,
设函数f(x)在(-∞,+∞)内具有二阶连续导数,证明:f”(x)≥0的充分必要条件是对不同实数a,b,
admin
2022-09-22
92
问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内具有二阶连续导数,证明:f”(x)≥0的充分必要条件是对不同实数a,b,
选项
答案
充分性: 将f(x)在x=[*]处展开,则 f(x)=[*] 由于f”(x)≥0,则f(x)≥[*] 故∫
a
b
f(x)dx≥∫
a
b
[*] 即f([*])∫
a
b
f(x)dx. 必要性(反证法): 若对不同实数a,b,[*],设存在x
0
∈R,使得f”(x
0
)<0. 由于f”(x)连续,则[*] 由保号性知,存在δ>0,使得当x∈(x
0
-δ,x
0
+δ)时,有f”(x)<0· 令a=x
0
-δ,b=x
0
+δ,再将f(x)在x=x
0
=[*]处展开,即 f(x)=[*] 当x∈[a,b]时f(x)≤[*],且仅在x=[*]时取等号,则∫
a
b
f(x)dx<[*] 即[*]∫
a
b
f(x)dx,与题意矛盾,故有f”(x)≥0·
解析
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考研数学二
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