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  3. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有二阶连续导数，证明：f”(x)≥0的充分必要条件是对不同实数a，b，

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有二阶连续导数，证明：f”(x)≥0的充分必要条件是对不同实数a，b，

admin2022-09-22  46
问题 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有二阶连续导数，证明：f”(x)≥0的充分必要条件是对不同实数a，b，
选项
答案充分性： 将f(x)在x=[*]处展开，则 f(x)=[*] 由于f”(x)≥0，则f(x)≥[*] 故∫abf(x)dx≥∫ab[*] 即f([*])∫abf(x)dx． 必要性(反证法)： 若对不同实数a，b，[*]，设存在x0∈R，使得f”(x0)＜0． 由于f”(x)连续，则[*] 由保号性知，存在δ＞0，使得当x∈(x0-δ，x0+δ)时，有f”(x)＜0· 令a=x0-δ，b=x0+δ，再将f(x)在x=x0=[*]处展开，即 f(x)=[*] 当x∈[a，b]时f(x)≤[*]，且仅在x=[*]时取等号，则∫abf(x)dx＜[*] 即[*]∫abf(x)dx，与题意矛盾，故有f”(x)≥0·
解析
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考研数学二

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