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设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组AX=b的通解是________。
设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，则方程组AX=b的通解是________。
admin
2020-03-10
62
问题
设A是秩为3的5×4矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α
1
+α
2
+2α
3
=(2，0，0，0)
T
，3α
1
+α
2
=(2，4，6，8)
T
，则方程组AX=b的通解是________。
选项
答案
([*]，0，0，0)
T
+k(0，2，3，4)
T
，k为任意常数
解析
由于r(A)=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r(A)=1个解向量。又因为
(α
1
+α
2
+2α
3
)一(3α
1
+α
2
)=2(α
3
一α
1
)=(0，一4，一6，一8)
T
是Ax=0的解，所以其基础解系为(0，2，3，4)
T
，由
A(α
1
+α
2
+2α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+2Aα
3
=4b，
可知
(α
1
+α
2
+2α
3
)是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是
(
，0，0，0)
T
+k(0，2，3，4)
T
。
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