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  3. 用配方法化下列次型为标准型 (1)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3． (2)f(χ1，χ2，χ3)＝χ1χ2＋χ1χ3＋χ2χ3．

用配方法化下列次型为标准型 (1)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3． (2)f(χ1，χ2，χ3)＝χ1χ2＋χ1χ3＋χ2χ3．

admin2016-10-21  75
问题 用配方法化下列次型为标准型
    (1)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．
    (2)f(χ1，χ2，χ3)＝χ1χ2＋χ1χ3＋χ2χ3．
选项
答案(1)f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3 ＝[χ12＋2χ1χ2－2χ1χ3＋(χ2－χ3)2]－(χ2－χ3)2＋2χ22＋2χ2χ3 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋χ22＋4χ2χ3－χ32 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋χ22＋4χ2χ3＋4χ32－5χ32 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋(χ2＋2χ3)2－5χ32． 令[*] 原二次型化为f(χ1，χ2，χ3)＝y12＋y22－5y32． 从上面的公式反解得变换公式：[*] 变换矩阵C＝[*] (2)这个二次型没有平方项，先作一次变换[*] f(χ1，χ2，χ3)＝y12－y22＋2y1y3． 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y12－y22＋2y1y3＝(y1＋y3)2－y22－y32． [*] 则f(χ1，χ2，χ3)＝z12－z22－z32． 变换公式为[*] 变换矩阵C＝[*]
解析
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考研数学二

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