设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记。 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (2)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2014-01-26  66

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记
(1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT
(2)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案(1)记x=(x1,x2,x3),因为 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2 [*] =xT(2ααT)x+xT(ββT)x=xT(2ααT+ββT)x, 且2ααT+ββT为对称矩阵,所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT. (2)记A=2ααT+ββT.由α,β正交且均为单位向量得 Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αT.α)+β(βT.α)=2α, Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αT.β)+β(βT.β)=β, 于是α为A的对应于特征值λ1=2的特征向量,β为A的对应于特征值λ2=1的特征向量. 又因r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2<3,所以λ3=0为A的第3个特征值,故二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22

解析 充分利用行向量与列向量的乘积、列向量与行向量的乘积的特殊性分析求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gm34777K
0

最新回复(0)