2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记。 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．

设二次型f(x1，x2，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记。 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT； (2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．

admin2014-01-26  124
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记。
(1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT；
(2)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
选项
答案(1)记x＝(x1，x2，x3)，因为 f(x1，x2，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2 [*] ＝xT(2ααT)x＋xT(ββT)x＝xT(2ααT＋ββT)x， 且2ααT＋ββT为对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (2)记A＝2ααT＋ββT．由α，β正交且均为单位向量得 Aα＝(2ααT＋ββT)α＝2α(αT.α)＋β(βT.α)＝2α， Aβ＝(2ααT＋ββT)β＝2α(αT.β)＋β(βT.β)＝β， 于是α为A的对应于特征值λ1＝2的特征向量，β为A的对应于特征值λ2＝1的特征向量． 又因r(A)＝r(2ααT＋ββT)≤r(2ααT)＋r(ββT)≤2＜3，所以λ3＝0为A的第3个特征值，故二次型f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
解析 充分利用行向量与列向量的乘积、列向量与行向量的乘积的特殊性分析求解．
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考研数学二

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