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  3. 设向量β可以被向量组α1，α2，…，αm线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm－1线性表示，若记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β．试讨论αm能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?

设向量β可以被向量组α1，α2，…，αm线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm－1线性表示，若记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β．试讨论αm能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?

admin2019-06-30  6
问题 设向量β可以被向量组α1，α2，…，αm线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm－1线性表示，若记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β．试讨论αm能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?
选项
答案依题设，β可以被向量组α1，α2，…，αm表示，即存在一组数k1，k2，…，km，使得 β=k1α1+k2α2+…+km－1αm－1+kmαm，(*) 其中km≠0，否则β可以被向量组(Ⅰ)表示，与题设矛盾．因此有 αm=－1／km(k1α1+k2α2+…+km－1αm－1－β)， 即αm能被向量组(Ⅱ)线性表示．由(*)可以判断αm不能被向量组(Ⅰ)表示，否则，若αm可被向量组(Ⅰ)表示，则必存在一组数l1，l2，…，lm－1，使得 αm=l1α1+l2α2+…+lm－1αm－1， 将其代入等式(*)，由此β可表为(Ⅰ)的线性组合，与题设矛盾． 综上讨论，αm能被向量组(Ⅱ)表示，但不能被向量组(Ⅰ)表示．
解析
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经济类联考综合能力

专业硕士

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