2. 考研
  3. 设f(x)在[0，a](a＞0)上可导，f(0)=0，f(a)=a2，且当x∈(0，a)时，f(x)≠ax，证明：存在一点ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＞a.

设f(x)在[0，a](a＞0)上可导，f(0)=0，f(a)=a2，且当x∈(0，a)时，f(x)≠ax，证明：存在一点ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＞a.

admin2022-05-20  63
问题 设f(x)在[0，a](a＞0)上可导，f(0)=0，f(a)=a2，且当x∈(0，a)时，f(x)≠ax，证明：存在一点ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＞a.
选项
答案由f(x)≠ax，知存在一点x1∈(0，a)，使得f(x1)≠ax1．令φ(x)=f(x)ax，则φ’(x)=f’(x)-a. 若f(x1)＞ax1，则φ(x1)=f(x1)-ax1＞0．又φ(0)=0，在[0，x1]上对φ(x)应用拉格朗日中值定理，有 [φ(x1)-φ(0)]/(x1-0)=φ(x1)/x1=φ’(ξ)＞0，ξ∈(0,x1)[*](0，a)， 即f’(ξ)＞a. 若f(x1)＜ax1，则-f(x1)＞-ax1，又φ(a)=f(a)-a2=0，在[x1，a]上对φ(x) 应用拉格朗日中值定理，有 [φ(a)-φ(x1)]/(a-x1)=[0-f(x1)+ax1]/(a-x1)=φ’(ξ)，ξ∈(x1，a)[*](0，a)， 且a-x1＞0，故φ’(ξ)＞0，从而f’(ξ)＞a.
解析
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考研数学三

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