[2014年] 设f(x)=，x∈[0，1]．定义函数列： f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，…，fn(x)=f(fn-1(x))，… 记Sn是曲线y=fn(x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积，求极限nSn.

admin2021-01-19 128

问题 [2014年] 设f(x)=

，x∈[0，1]．定义函数列：
f₁(x)=f(x)，f₂(x)=f(f₁(x))，…，f_n(x)=f(f_n-1(x))，…
记S_n是曲线y=f_n(x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积，求极限

nS_n.

选项

答案先用递推归纳法求出f_n(x)的表达式，然后应用定积分的几何意义，求出S_n，最后求出极限．先求出f_n(x)．由f(x)即得 f₁(x)=[*]，x∈[0，1]；f₂(x)=f(f₁(x))=[*]；f₃(x)=f(f₂(x))=[*] 用递推归纳可证明f_n(x)=[*]，x∈[0，1]．再求由曲线y=f_n(x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积： [*]

解析

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