过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

admin2019-06-29 44

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

选项

答案[*] 设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为 y′₀=e^x₀，切线方程为 y－y₀=e^x₀(x－x₀)．它经过点(0，0)，所以－y₀=－x₀e^x₀．又因y₀=e^x₀，代入求得x₀=1，从而y₀=e^x₀=e，切线方程为y=ex． (Ⅰ)取水平条面积元素，则D的面积 [*] (积分[*]ln ydy为反常积分，[*]yln y=0根据洛必达法则得到) (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 dV₁=[π(1－lny)²－π(1－[*])²]dy，从而 V₁=[*]dy =π(yln²y－4ylny＋4y＋[*]πe．

解析

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考研数学二

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过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

考研数学二

若∫f(x)dx=F(x)+C且x=at+b(a≠0)，则∫f(t)dt=___________。

已知正、负惯性指数均为1的二次型f=xTAx通过合同变换x=Py化为f=yTBy，其中则a=__________。

微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0满足条件y｜x=1=1的特解为_________。

4／3因为x→0时，-1～ln2(1+x)～x2，

设z=(x+ey)x，则=__________。

设A=，矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则｜B+E｜=________。

设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．

设函数f(x)=在(－∞，+∞)内连续，且f(x)=0，则常数a，b满足()

已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y－xey－1=1所确定。设z=f(lny－sinx)，求dz／dx|x=0，d2z／dx2|x=0。

设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0间断，则在点x0处必定间断的函数是()

下列能申请发明专利的是()

睫状体挫伤可出现

月经先后无定期，经量或多或少，腰酸耳鸣，经前乳房胀痛，苔薄白，脉细弦，方选：

确定残髓炎最可靠的方法是

患者因皮肤疮痍破溃而引发水肿，肿势自颜面而渐及全身，发热咽红，舌红苔薄黄，脉滑数。其治法是()

A、活血化瘀B、清热凉血C、散结消肿D、凉血利湿E、清热除湿消风止痒颗粒除消风止痒外，又能()。

侵权行为的构成要件包括()等。

盈亏乎衡分析是一种特殊形式的临界点分析，它适用于财务评价，其计算应按项目投产后的(　　)。

如图，设椭圆C：=1(a＞b＞0)，动直线l与椭圆C只有－个公共点P，且点P在第－象限．若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b．

师生关系在人格上是______的关系。(2016．福建)

过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

考研数学二

若∫f(x)dx=F(x)+C且x=at+b(a≠0)，则∫f(t)dt=___________。

已知正、负惯性指数均为1的二次型f=xTAx通过合同变换x=Py化为f=yTBy，其中则a=__________。

微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0满足条件y｜x=1=1的特解为_________。

4／3因为x→0时，-1～ln2(1+x)～x2，

设z=(x+ey)x，则=__________。

设A=，矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则｜B+E｜=________。

设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．

设函数f(x)=在(－∞，+∞)内连续，且f(x)=0，则常数a，b满足()

已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y－xey－1=1所确定。设z=f(lny－sinx)，求dz／dx|x=0，d2z／dx2|x=0。

设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0间断，则在点x0处必定间断的函数是()

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月经先后无定期，经量或多或少，腰酸耳鸣，经前乳房胀痛，苔薄白，脉细弦，方选：

确定残髓炎最可靠的方法是

患者因皮肤疮痍破溃而引发水肿，肿势自颜面而渐及全身，发热咽红，舌红苔薄黄，脉滑数。其治法是()

A、活血化瘀B、清热凉血C、散结消肿D、凉血利湿E、清热除湿消风止痒颗粒除消风止痒外，又能()。

侵权行为的构成要件包括()等。

盈亏乎衡分析是一种特殊形式的临界点分析，它适用于财务评价，其计算应按项目投产后的( )。

如图，设椭圆C：=1(a＞b＞0)，动直线l与椭圆C只有－个公共点P，且点P在第－象限．若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b．

师生关系在人格上是______的关系。(2016．福建)

盈亏乎衡分析是一种特殊形式的临界点分析，它适用于财务评价，其计算应按项目投产后的(　　)。