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过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求 (Ⅰ)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求 (Ⅰ)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
admin
2019-06-29
80
问题
过坐标原点作曲线y=e
x
的切线,该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D.求
(Ⅰ)D的面积A;
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
选项
答案
[*] 设切点坐标为P(x
0
,y
0
),于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为 y′
0
=e
x
0
, 切线方程为 y-y
0
=e
x
0
(x-x
0
). 它经过点(0,0),所以-y
0
=-x
0
e
x
0
.又因y
0
=e
x
0
,代入求得x
0
=1, 从而y
0
=e
x
0
=e,切线方程为y=ex. (Ⅰ)取水平条面积元素,则D的面积 [*] (积分[*]ln ydy为反常积分,[*]yln y=0根据洛必达法则得到) (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 dV
1
=[π(1-lny)
2
-π(1-[*])
2
]dy, 从而 V
1
=[*]dy =π(yln
2
y-4ylny+4y+[*]πe.
解析
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0
考研数学二
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