过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

admin2019-06-29 64

问题过坐标原点作曲线y=e^x的切线，该切线与曲线y=e^x以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

选项

答案[*] 设切点坐标为P(x₀，y₀)，于是曲线y=e^x在点P的切线斜率为 y′₀=e^x₀，切线方程为 y－y₀=e^x₀(x－x₀)．它经过点(0，0)，所以－y₀=－x₀e^x₀．又因y₀=e^x₀，代入求得x₀=1，从而y₀=e^x₀=e，切线方程为y=ex． (Ⅰ)取水平条面积元素，则D的面积 [*] (积分[*]ln ydy为反常积分，[*]yln y=0根据洛必达法则得到) (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 dV₁=[π(1－lny)²－π(1－[*])²]dy，从而 V₁=[*]dy =π(yln²y－4ylny＋4y＋[*]πe．

解析

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考研数学二

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过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求 (Ⅰ)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．

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