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已知α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α1+α3也是该方程组的一个基础解系．
已知α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α1+α3也是该方程组的一个基础解系．
admin
2019-06-28
52
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
1
+α
3
也是该方程组的一个基础解系．
选项
答案
由A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=0+0=0知，α
1
+α
2
是齐次方程组Ax=0的解．同理可知α
2
+α
3
，α
1
+α
3
也是Ax=0的解．设k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+k
3
(α
1
+α
3
)=0，即(k
1
+k
3
)α
1
+(k
1
+k
2
)α
2
+(k
2
+k
3
)α
3
=0，因为α
1
,α
2
,α
3
是基础解系，它们是线性无关的，故[*]由于此方程组系数行列式[*]故必有k
1
=k
2
=k
3
=0，所以α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
1
+α
3
线性无关．根据题设，Ax=0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α
1
+α
3
，α
2
+α
3
，α
1
+α
3
是方程组Ax=0的一组基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pdV4777K
0
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