2. 考研
  3. 设函数y=y(x)满足微分方程y’’一3y’+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线g(x)=x2一x+1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

设函数y=y(x)满足微分方程y’’一3y’+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线g(x)=x2一x+1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

admin2021-08-02  79
问题 设函数y=y(x)满足微分方程y’’一3y’+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线g(x)=x2一x+1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．
选项
答案点(0，1)在曲线g(x)=一x2+x+1上，又g’(x)=2x—1，可知g’(0)=y’(0)=一1，由题设可知所求y(x)满足y(0)=1，y’(0)=一1． 相应的齐次方程为y”一3y’+2y=0，特征方程为r2一3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2． 齐次方程的通解Y=C1ex+C2e2x．由于f(x)=2ex，可知应设原方程特解为y*=Axex，代入原方程可得A=一2，可知y*=一2xex，故原方程通解为y=C1ex+C2ex一2xex． 又由初始条件可得C1=1，C2=0，故y=ex(1—2x)为所求．
解析
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考研数学二

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