设函数y=y(x)满足微分方程y’’一3y’+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线g(x)=x2一x+1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

admin2021-08-02 34

问题设函数y=y(x)满足微分方程y’’一3y’+2y=2e^x，其图形在点(0，1)处的切线与曲线g(x)=x²一x+1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

选项

答案点(0，1)在曲线g(x)=一x²+x+1上，又g’(x)=2x—1，可知g’(0)=y’(0)=一1，由题设可知所求y(x)满足y(0)=1，y’(0)=一1．相应的齐次方程为y”一3y’+2y=0，特征方程为r²一3r+2=0，特征根为r₁=1，r₂=2．齐次方程的通解Y=C₁e^x+C₂e^2x．由于f(x)=2e^x，可知应设原方程特解为y^*=Axe^x，代入原方程可得A=一2，可知y^*=一2xe^x，故原方程通解为y=C₁e^x+C₂e^x一2xe^x．又由初始条件可得C₁=1，C₂=0，故y=e^x(1—2x)为所求．

解析

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考研数学二

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设函数y=y(x)满足微分方程y’’一3y’+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线g(x)=x2一x+1在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

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