设 A=，B=(A+kE)2 (1)求作对角矩阵D，使得B～D． (2)实数k满足什么条件时B正定?

admin2019-08-12 58

问题设
A=

，B=(A+kE)²
(1)求作对角矩阵D，使得B～D．
(2)实数k满足什么条件时B正定?

选项

答案(1)A是实对称矩阵，它可相似对角化，从而B也可相似对角化，并且以B的特征值为对角线上元素的对角矩阵和B相似．求B的特征值：｜λE-A｜=λ(λ-2)²，A的特征值为0，2，2，于是B的特征值为k²和(k+2)²，(k+2)²．令D=[*] 则B～D． (2)当k为≠0和-2的实数时，B是实对称矩阵，并且特征值都大于0，从而此时B正定．

解析

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