设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA，证明：B相似于对角阵．

admin2015-08-14 59

问题设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA，证明：B相似于对角阵．

选项

答案A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P^-1AP=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=A₁，其中λ_i，i=1，2，…，n是A的特征值，且λ_i≠λ_j(i≠j)．又AB=BA，故P^-1APP^-1BP=P^-1BPP^-1AP，即 A₁P^-1BP=P^-1BPA₁．设P^-1BP=(c_ij)_n×n，则 [*] 比较对应元素λ_ic_ij=λ_jc_ij，即(λ_i一λ_j)c_ij=0，λ_i≠λ_j(i≠j)．得c_ij=0，于是 [*]

解析

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