设f(x)在[0，＋∞)内连续，且f(x)=1，证明：y=e－xetf(t)dt满足方程：＋y=f(x)，并求y(x)．

admin2016-03-02 67

问题设f(x)在[0，＋∞)内连续，且

f(x)=1，证明：y=e^－x

e^tf(t)dt满足方程：

＋y=f(x)，并求

y(x)．

选项

答案∵y=e^－x.[*]e^tf(t)dt ∴y′=－e^－x.[*]e^tf(t)dt＋e^－x.e^xf(x)＝e^－x.[*]e^tf(t)dt＋f(x) ∴y′＋y＝f(x)，即y＝e^－x.[*]f(t)dt满足方程[*]＋y＝f(x)．又∵f(x)在[0，+∞)内连续，且[*]f(x)=1， ∴存在X₀＞0，当X₀＞0时，f(x)＞[*] [*] ∴当x→+∞时，[*]e^tf(t)dt→＋∞， ∴[*]=1

解析

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