设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)．证明：(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0处取得极大值； (2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)

admin2018-09-20 51

问题设f(x)在x₀处n阶可导，且f^(m)(x₀)=0(m=1，2，…，n一1)，f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0(n≥2)．
证明：(1)当n为偶数且f⁽ⁿ⁾(x₀)＜0时，f(x)在x₀处取得极大值；
(2)当n为偶数且f⁽ⁿ⁾(x₀)＞0时，f(x)在x₀处取得极小值．

选项

答案n为偶数，令n=2k，构造极限 [*] (1)当f^(2k)(x₀)＜0时，由极限保号性，知[*]f(x)＜f(x₀)，故x₀为极大值点； (2)当f^(2k)(x₀)＞0时，由极限保号性，知[*]f(x)＞f(x₀)，故x₀为极小值点．

解析

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考研数学三

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