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  3. 设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得

设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得

admin2016-10-24  38
问题 设f(x)在[一a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在．
证明：存在ξ1，ξ2∈[一a，a]，使得
选项
答案上式两边积分得f(x)dx=[*]f(4)(ξ)x4dx． 因为f(4)(x)在[一a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[一a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx1≤f(4)(ξ)x4≤Mx4，两边在[一a，a]上积分得[*]a5≤∫aaf(4)(ξ)x4dx≤[*]a5，从而 [*] 于是m≤[*]f(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ1∈[一a，a]，使得f(4)(ξ1)=[*] 或a5f(4)(ξ1)=60f(x)dx． 再由积分中值定理，存在ξ2∈[一a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)=60∫一aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．
解析
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考研数学三

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