设有一半径为R长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

admin2019-04-22 117

问题设有一半径为R长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

选项

答案任取小区间[x，x+dx][*][-R，R]相应的柱体薄片，其体积为 [*] 移至水面时薄片移动的距离为R-x，所受的力(重力与浮力之差)为[*]，因而移至水面时做的功为 [*] 整个移出水面时，此薄片离水面距离为R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为ρ(R+x)2l[*]于是对薄片做的功为 dW=2l[(ρ-1)(R-x)+ρ(R+x)][*] =2l[(2ρ-1)R+x][*] 因此，所求的功W=∫_-R^R2l[*][(2ρ-1)R+x]dx=2l(2ρ-1)R∫_-R^R[*] =21(2ρ-1)R.[*]R²=l(2ρ-1)πR³．

解析

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考研数学二

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设有一半径为R长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

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