设f(x)在[0，1]有连续导数，且f(0)=0，令M=｜f’(x)｜，则必有_________。

admin2015-04-30 83

问题设f(x)在[0，1]有连续导数，且f(0)=0，令M=

｜f’(x)｜，则必有_________。

选项 A、∫₀¹｜f(x)｜dx≤

B、

≤∫₀¹｜f(x)｜dx≤M
C、M≤∫₀¹｜f(x)｜dx≤2M
D、∫₀¹｜f(x)｜dx≥2M

答案A

解析考察f(x)与f’(x)的关系．设x∈[0，1]，则由牛顿—莱布尼兹公式及f(0)=0，有
∫₀^xf’(t)dt=f(x)一f(0)=f(x)．
由积分基本性质，并考虑到M=

｜f’(x)｜，有
｜f(x)｜=｜∫₀^xf’(t)dt｜≤∫₀^x｜f’(t)｜dt≤∫₀^xMdt=Mx．
于是 ∫₀^x｜f(x)｜dx≤∫₀¹Mxdx=

．故选A．

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