求子空间A(R3)={Aa|a∈R3}的一组正交基。

admin2018-03-29 36

问题

求子空间A(R³)={Aa|a∈R³}的一组正交基。

选项

答案取R³上一组基：e₁=(1，0，0)’，e₂=(0，1，0)’，e₃=(0，0，1)’。于是有Ae₁=(1，1，3)’=ε₁，Ae₂=(1，2，4)’=ε₂，Ae₃=(0，1，1)’=ε₃，则A(R³)={Aa|a∈R³}={ε₁，ε₂，ε₃}，(ε₁，ε₂，ε₃) [*] 所以r(ε₁，ε₂，ε₃)=2。又因为ε₁，ε₂线性无关，所以A(R3)=(ε₁，ε₂) 将ε₁，ε₂进行smitch正交化可得β₁=(1，1，3)’，β₂=ε₂－(ε₂，ε₁)／(β₁，β₁)所以子空间A(R³)={Aa|a∈R}的一组正交基是β₁=(1，1，3)’，β₂=(－4／11，7／11，－1／11)。

解析

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