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设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,x=1是f(x)的极值点,且证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=0。
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,x=1是f(x)的极值点,且证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=0。
admin
2019-01-26
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问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,x=1是f(x)的极值点,且
证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=0。
选项
答案
由于x=1是f(x)的极值点,所以f’(1)=0。 因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,所以由积分中值定理可知,存在[*]使得 [*] 即有 [*] 又因为f(x)在[*]上连续,在[*]内可导,所以由罗尔定理可知,存在[*]使得f’(ζ)=0。 再由f’(x)在[ζ,1]上连续,在(ζ,1)内可导,且f’(ζ)=f’(1)=0可知,存在ξ∈(ζ,1)[*](0,1),使得f"(ξ)=0。
解析
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考研数学二
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