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已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意5个向量线性无关．
已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意5个向量线性无关．
admin
2016-06-25
74
问题
已知α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，β可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，且表示式的系数全不为零，证明：α
1
，α
2
，…，α
s
，β中任意5个向量线性无关．
选项
答案
用反证法．设α
1
，α
2
，…，α
s
，β中任意s个向量组α
1
，α
2
，…，α
i一1
，α
i+1
，…，α
s
，β线性相关，则存在不全为零的k
1
，k
2
，…，k
i一1
，k
i+1
，…，k
s
，k使得 k
1
α
1
+…+k
i一1
α
i一1
+k
i+1
α
i+1
+…+k
s
α
s
+kβ=0． ① 另一方面，由题设 β=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
i
α
i
+…+l
s
α
s
， 其中l
i
≠0，i=1，2，…，s．代入上式，得 (k
1
+kl
1
)α
1
+(k
2
+kl
2
)α
2
+…+(k
i一1
+kl
i一1
)α
i一1
+lj
i
α
i
+(k
i+1
+kl
i+1
)α
i+1
+…+(k
s
+kl
s
)α
s
=0． 因已知α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，从而由kl
i
=0，l
i
≠0，故k=0，从而由①式得 k
1
，k
2
，…，k
i一1
，k
i+1
，…，k
s
均为0，矛盾． 故α
1
，α
2
，…，α
s
，β中任意s个向量线性无关．
解析
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