设X和Y相互独立都服从0--1分布，且P{X=1}=P{Y=1}=0．6，试证明：U=X+Y，V=X—Y不相关，但是不独立．

admin2018-09-20 54

问题设X和Y相互独立都服从0--1分布，且P{X=1}=P{Y=1}=0．6，试证明：U=X+Y，V=X—Y不相关，但是不独立．

选项

答案由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可知 Cov(U，V)=E(UV)一EUEV=E(X²一Y²)一E(X+Y)E(X—Y)=E(X²)一E(Y²)=0，于是，U=X+Y，V=X—Y不相关．现在证明U=X+Y，V=X—Y不独立．事实上，由 P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．16， P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1} =P{X=0}P{Y=0)+P{X=1}P{Y=1}=0．52， P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0} =0．16≠0．16×0．52=P{U=0}P{V=0}，可见U，V不独立．

解析

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考研数学三

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