设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0.证明:ξ∈(a,b),使fˊˊ(ξ)g(ξ)+2fˊ(ξ)gˊ(ξ)+f(ξ)gˊˊ(ξ)=0.

admin2016-09-13  25

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0.证明:ξ∈(a,b),使fˊˊ(ξ)g(ξ)+2fˊ(ξ)gˊ(ξ)+f(ξ)gˊˊ(ξ)=0.

选项

答案令F(x)=f(x)g(x),在x=a点展开泰勒公式. F(x)=F(a)+Fˊ(a)(x-a)+[*]Fˊˊ(ξ)(x-a)2(a<ξ<x). ① 令x=6,代入①式,则 F(b)=F(a)+Fˊ(a)(b-a)+[*]Fˊˊ(ξ)(b-a)2 (a<ξ<b). ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0,则F(a)=F(b)=0,且Fˊ(a)=0,代入②式,得Fˊˊ(ξ)=0.即 fˊˊ(ξ)g(ξ)+2fˊ(ξ)gˊ(ξ)+f(ξ)gˊˊ(ξ)=0.

解析
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