已知n阶矩阵A满足A3＝E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2＋A＋2E可逆．

admin2019-04-22 97

问题已知n阶矩阵A满足A³＝E．
(1)证明A²－2A－3E可逆．
(2)证明A²＋A＋2E可逆．

选项

答案由于A³＝E，A的特征值都满足λ³＝1． (1)A²－2A－3E＝(A－3E)(A＋E)，3和－1都不满足λ³＝1，因此都不是A的特征值．于是(A －3E)和(A＋E)都可逆，从而A²－2A－3E可逆． (2) 设A的全体特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A²＋A＋2E的特征值λ_i²＋λ_i＋2，i＝1，2，由于λ_i³＝1，λ_i或者为1，或者满足λ_i²＋λ_i＋1＝0．于是λ_i²＋λ_i＋2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A²＋A＋2E可逆．

解析

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证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．
利用代换u＝ycosχ将微分方程y〞cosχ－2y′sinχ＋3ycosχ＝eχ化简，并求出原方程的通解．
求下列极限：
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设f(χ)在[1，＋∞)内可导，f′(χ)＜0且，f(χ)＝a＞0，令an＝f(k)－∫1nf(χ)dχ．证明：(an)收敛且0≤≤f(1)．
求极限
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