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  3. 已知n阶矩阵A满足A3＝E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2＋A＋2E可逆．

已知n阶矩阵A满足A3＝E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2＋A＋2E可逆．

admin2019-04-22  41
问题 已知n阶矩阵A满足A3＝E．
    (1)证明A2－2A－3E可逆．
    (2)证明A2＋A＋2E可逆．
选项
答案由于A3＝E，A的特征值都满足λ3＝1． (1)A2－2A－3E＝(A－3E)(A＋E)，3和－1都不满足λ3＝1，因此都不是A的特征值．于是(A －3E)和(A＋E)都可逆，从而A2－2A－3E可逆． (2) 设A的全体特征值为λ1，λ2，…，λn，则A2＋A＋2E的特征值λi2＋λi＋2，i＝1，2， 由于λi3＝1，λi或者为1，或者满足λi2＋λi＋1＝0．于是λi2＋λi＋2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A2＋A＋2E可逆．
解析
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考研数学二

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