已知n阶矩阵A满足A3＝E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2＋A＋2E可逆．

admin2019-04-22 59

问题已知n阶矩阵A满足A³＝E．
(1)证明A²－2A－3E可逆．
(2)证明A²＋A＋2E可逆．

选项

答案由于A³＝E，A的特征值都满足λ³＝1． (1)A²－2A－3E＝(A－3E)(A＋E)，3和－1都不满足λ³＝1，因此都不是A的特征值．于是(A －3E)和(A＋E)都可逆，从而A²－2A－3E可逆． (2) 设A的全体特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A²＋A＋2E的特征值λ_i²＋λ_i＋2，i＝1，2，由于λ_i³＝1，λ_i或者为1，或者满足λ_i²＋λ_i＋1＝0．于是λ_i²＋λ_i＋2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A²＋A＋2E可逆．

解析

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确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示。
设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求Ax=0的一个基础解系．
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设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积。(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞－2
设f(x)在=0处连续且求f(0)并讨论f(x)在x=0处是否可导?若可导，请求出f’(0)．

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